ЕГЭ 2027 · Базовая математика
Справочник формул
Все формулы из уроков по темам: дроби и проценты, степени и корни, логарифмы, тригонометрия, геометрия, вероятность. Их полезно распечатать и держать перед глазами, пока решаешь задачи.
Дроби и вычисления
- Сложение дробей с общим знаменателем: ac + bc = a + bc
- Умножение: ab · cd = acbd
- Деление: ab : cd = ab · dc
- Порядок действий: скобки, затем степени и корни, умножение и деление слева направо, в конце сложение и вычитание
| 12 | 14 | 34 | 15 | 18 | 120 | 125 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,5 | 0,25 | 0,75 | 0,2 | 0,125 | 0,05 | 0,04 |
Проценты
- 1% = 1100 = 0,01
- p% от числа A: A · p100
- Увеличить на p%: A · 1 + p100, уменьшить на p%: A · 1 − p100
- Сколько процентов a составляет от b: ab · 100%
- После налога 13 % остаётся 87 %: если на руки получено A, вся сумма равна A : 0,87
- Отношение a : b: всего a + b частей, одна часть равна целому, делённому на a + b
Степени и корни
- am · an = am + n, am : an = am − n, (am)n = amn
- (ab)n = an bn, a0 = 1, a−n = 1an, a12 = √a
- √ab = √a · √b, √ab = √a√b, (√a)2 = a, √a2 = |a|
| n | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 |
| n | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| n2 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 |
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2n | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
| n | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2n | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
Формулы сокращённого умножения
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
- a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Логарифмы
- loga b = c означает ac = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0
- loga a = 1, loga 1 = 0, aloga b = b
- loga (bc) = loga b + loga c, loga bc = loga b − loga c
- loga bk = k loga b
Тригонометрия
| Угол | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
| cos | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| tg | 0 | √33 | 1 | √3 | нет |
- sin2 α + cos2 α = 1, tg α = sin αcos α
- Период 360°: sin(α + 360°) = sin α, cos(α + 360°) = cos α
- sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α
- sin(−α) = −sin α, cos(−α) = cos α
- Знаки: синус положителен от 0° до 180°, косинус положителен от 0° до 90° и от 270° до 360°
Уравнения и неравенства
- Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0: D = b2 − 4ac, x = −b ± √D2a; при D < 0 корней нет
- Теорема Виета для x2 + px + q = 0: x1 + x2 = −p, x1 · x2 = q
- af(x) = ag(x) ⇒ f(x) = g(x)
- loga f(x) = c ⇒ f(x) = ac, под логарифмом должно быть положительное число
- √f(x) = c ⇒ f(x) = c2, если c ≥ 0
- При a > 1 знак неравенства между ax и ac сохраняется, при 0 < a < 1 меняется; так же для loga x и loga c
- Промежутки: в (3; +∞) число 3 не входит, в [3; +∞) входит
Вероятность
- P(A) = mn: m подходящих исходов из n равновозможных
- Вероятность того, что событие не произойдёт: 1 − P(A)
- Независимые события происходят вместе с вероятностью P(A) · P(B)
- Несовместные события: вероятность того, что произойдёт одно из них, P(A) + P(B)
Текстовые задачи
- Движение: S = vt, v = St, t = Sv
- Навстречу: скорость сближения v1 + v2; вдогонку: v1 − v2
- По реке: по течению v + vт, против течения v − vт
- Средняя скорость: весь путь, делённый на всё время
- Работа: производительность равна работе, делённой на время; при совместной работе производительности складываются, всю работу удобно принять за 1
- Растворы: масса вещества равна массе раствора, умноженной на долю вещества; при добавлении воды масса вещества не меняется
Планиметрия
- Сумма углов треугольника 180°, сумма углов выпуклого многоугольника с n сторонами 180° · (n − 2)
- Площадь треугольника: S = 12 a h, S = 12 ab sin C
- Теорема Пифагора: c2 = a2 + b2; тройки 3, 4, 5; 6, 8, 10; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25
- В прямоугольном треугольнике с гипотенузой c: синус угла равен противолежащему катету, делённому на c, косинус равен прилежащему катету, делённому на c, тангенс равен противолежащему катету, делённому на прилежащий
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, высота к основанию делит его пополам
- Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны
- Прямоугольник S = ab; квадрат S = a2, диагональ квадрата a√2
- Параллелограмм S = ah; ромб S = d1 d22
- Трапеция S = a + b2 · h, средняя линия a + b2
- Окружность: длина C = 2π r, площадь круга S = π r2
- Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу; угол, опирающийся на диаметр, прямой
- Площадь фигуры на клетках (формула Пика): S = В + Г2 − 1, где В это число узлов сетки внутри фигуры, Г это число узлов на её границе
Стереометрия
- Прямоугольный параллелепипед: V = abc, диагональ d = √a2 + b2 + c2, площадь поверхности S = 2(ab + bc + ac)
- Куб: V = a3, S = 6a2
- Призма: V = Sосн · h; пирамида: V = 13 Sосн · h
- Цилиндр: V = π r2 h, боковая поверхность 2π r h
- Конус: V = 13 π r2 h, боковая поверхность π r l, где l это образующая
- Шар: V = 43 π r3, площадь поверхности 4π r2
- Подобные тела с коэффициентом k: длины отличаются в k раз, площади в k2 раз, объёмы в k3 раз
Единицы измерения
| Величина | Соотношения |
|---|---|
| Длина | 1 км = 1000 м; 1 м = 100 см; 1 см = 10 мм |
| Масса | 1 т = 1000 кг; 1 кг = 1000 г; 1 г = 1000 мг |
| Время | 1 сутки = 24 ч; 1 ч = 60 мин; 1 мин = 60 с |
| Площадь | 1 м² = 10 000 см²; 1 га = 10 000 м²; 1 км² = 100 га |
| Объём | 1 л = 1 дм³; 1 м³ = 1000 л; 1 мл = 1 см³ |
Признаки делимости
- На 2: последняя цифра чётная
- На 3: сумма цифр делится на 3
- На 4: две последние цифры образуют число, которое делится на 4
- На 5: последняя цифра 0 или 5
- На 9: сумма цифр делится на 9
- На 10: последняя цифра 0
- На 11: разность сумм цифр, стоящих на чётных и на нечётных местах, делится на 11
- На составное число: на оба множителя, например на 6 значит на 2 и на 3, на 15 значит на 3 и на 5