ЕГЭ 2027 · Профильная математика
Справочник формул
Все формулы из уроков по темам: степени и логарифмы, тригонометрия, производная, геометрия, вероятность, проценты и кредиты. Их полезно распечатать и держать перед глазами, пока решаешь задачи.
Степени и корни
- am · an = am + n, am : an = am − n, (am)n = amn
- (ab)n = an bn, a0 = 1, a−n = 1an, amn = n√am
- √ab = √a · √b, √ab = √a√b, √a2 = |a|
- (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2, a2 − b2 = (a − b)(a + b)
- a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2)
Логарифмы
- loga b = c ⇔ ac = b, где a > 0, a ≠ 1, b > 0
- aloga b = b, loga a = 1, loga 1 = 0
- loga (bc) = loga b + loga c, loga bc = loga b − loga c
- loga bk = k loga b, logam b = 1m loga b
- loga b = logc blogc a, loga b · logb a = 1
Тригонометрия
| α | 0 | π6 | π4 | π3 | π2 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 12 | √22 | √32 | 1 |
| cos | 1 | √32 | √22 | 12 | 0 |
| tg | 0 | √33 | 1 | √3 | нет |
- sin2 α + cos2 α = 1, tg α = sin αcos α, 1 + tg2 α = 1cos2 α
- sin 2α = 2sin α cos α, cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − 1 = 1 − 2sin2 α
- sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
- Приведение: для π ± α, 2π ± α функция та же, для π2 ± α, 3π2 ± α синус меняется на косинус и наоборот; знак как у исходной функции в той четверти, куда попадает угол
- sin x = a: x = arcsin a + 2π k, x = π − arcsin a + 2π k; cos x = a: x = ± arccos a + 2π k; tg x = a: x = arctg a + π k, k ∈ ℤ
- sin x = 0: x = π k; cos x = 0: x = π2 + π k
Производная
| f(x) | c | xn | √x | 1x |
|---|---|---|---|---|
| f′(x) | 0 | nxn − 1 | 12√x | −1x2 |
| f(x) | sin x | cos x | ex | ax | ln x |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | cos x | −sin x | ex | ax ln a | 1x |
- (f + g)′ = f′ + g′, (cf)′ = cf′, (fg)′ = f′g + fg′, fg′ = f′g − fg′g2, f(kx + b)′ = k f′(kx + b)
- f′(x0) равна угловому коэффициенту касательной в точке x0; касательная y = f(x0) + f′(x0)(x − x0)
- f′ > 0: функция возрастает, f′ < 0: убывает; смена знака f′ с «+» на «−» это максимум, с «−» на «+» минимум
- Наибольшее и наименьшее значение на отрезке ищут среди значений в критических точках и на концах
Первообразная
- F′(x) = f(x); первообразные: xn → xn + 1n + 1, 1x → ln |x|, ex → ex, sin x → −cos x, cos x → sin x
- Площадь под графиком f ≥ 0 на [a; b] равна F(b) − F(a)
Уравнения и неравенства
- ax2 + bx + c = 0: D = b2 − 4ac, x = −b ± √D2a; для x2 + px + q = 0: x1 + x2 = −p, x1x2 = q
- af = ag ⇔ f = g; loga f = loga g ⇔ f = g > 0
- При a > 1 знак неравенства между af и ag (или loga f и loga g) сохраняется, при 0 < a < 1 меняется; под логарифмом всегда положительно
- Метод интервалов: нули числителя и знаменателя на прямую, знаки на промежутках, нули знаменателя выколоты
Вероятность
- P(A) = mn, P(не A) = 1 − P(A)
- Несовместные события: P(A или B) = P(A) + P(B); независимые: P(A и B) = P(A) · P(B)
- Полная вероятность: сумма по веткам дерева, каждая ветка это произведение вероятностей на ней
Прогрессии и проценты
- Арифметическая: an = a1 + (n − 1)d, Sn = a1 + an2 · n
- Геометрическая: bn = b1 qn − 1, Sn = b1(qn − 1)q − 1
- Увеличить на p%: умножить на 1 + p100; уменьшить: на 1 − p100
Экономическая задача
- Долг уменьшается равными частями: проценты за n периодов r100 · S · n + 12
- Равные платежи x, b = 1 + r100: после каждого периода долг умножается на b и уменьшается на x; за 2 периода (Sb − x)b − x = 0
Планиметрия
- Треугольник: S = 12ah = 12absin C = pr = abc4R
- Теорема синусов asin A = 2R, теорема косинусов c2 = a2 + b2 − 2abcos C
- Прямоугольный треугольник: c2 = a2 + b2, R = c2, r = a + b − c2, высота к гипотенузе h = √pq
- Параллелограмм S = ah = absin α, ромб S = d1d22, трапеция S = a + b2h
- Вписанный угол равен половине дуги; угол на диаметр прямой; вписанный четырёхугольник: сумма противоположных углов 180°
- Отрезки касательных из одной точки равны; касательная перпендикулярна радиусу
- Подобие с коэффициентом k: площади относятся как k2
- Окружность: C = 2π r, S = π r2
Векторы
- AB = (x2 − x1; y2 − y1), |a| = √x2 + y2
- a · b = x1x2 + y1y2 = |a| · |b| · cos φ
- Перпендикулярны: a · b = 0; коллинеарны: x1x2 = y1y2
Стереометрия
| Тело | Объём | Поверхность |
|---|---|---|
| прямоугольный параллелепипед | abc | 2(ab + bc + ac) |
| призма | Sосн h | |
| пирамида | 13 Sосн h | |
| цилиндр | π r2 h | бок 2π rh |
| конус | 13π r2 h | бок π rl |
| шар | 43π R3 | 4π R2 |
- Диагональ параллелепипеда d2 = a2 + b2 + c2
- Подобные тела с коэффициентом k: площади в k2, объёмы в k3 раз
- Расстояние от точки до плоскости через объём: d = 3VS