Задание 1. Планиметрия

Как узнать: чертёж с треугольником, четырёхугольником или окружностью, нужно найти угол, длину или площадь. Почти каждое такое задание решается одним-двумя фактами из этого урока, поэтому главное знать их наизусть и видеть, какой подходит.

Треугольник

• Сумма углов треугольника 180°.
• Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана к основанию одновременно биссектриса и высота.
• Средняя линия параллельна стороне и равна её половине.

Прямоугольный треугольник

Гипотенуза AB лежит против прямого угла, катеты AC и BC. Для острого угла A:

Отсюда сразу находятся стороны: BC = AB · sin A, AC = AB · cos A, BC = AC · tg A.

Ещё полезно:

• Теорема Пифагора: AB² = AC² + BC². Тройки, которые встречаются чаще всего: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 и кратные им.
• Катет против угла 30° равен половине гипотенузы.
• Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.
• Высота к гипотенузе h = √pq, где p и q это отрезки, на которые она делит гипотенузу.

Четырёхугольники

• Параллелограмм: противоположные углы равны, соседние в сумме дают 180°, диагонали делятся точкой пересечения пополам.
• Ромб (параллелограмм с равными сторонами): диагонали перпендикулярны и делят углы ромба пополам.
• Трапеция: углы при боковой стороне в сумме дают 180°, средняя линия равна полусумме оснований. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Окружность

• Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу, и половине этой дуги.
• Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Угол между касательной и хордой равен половине дуги между ними.
• Радиус описанной окружности: R = a2sin A (теорема синусов). У прямоугольного треугольника центр описанной окружности на середине гипотенузы: R = c2.
• Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника: r = a + b − c2.

Площади

У подобных фигур с коэффициентом k площади относятся как k². Например, средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с k = 12, и его площадь в 4 раза меньше.