Задание 2. Векторы

Как узнать: даны векторы координатами, длинами или нарисованы на клетках; нужно найти длину, координату, скалярное произведение или угол.

Вектор и его координаты

Вектор это направленный отрезок. Его координаты: на сколько он сдвигает по x и по y. Если вектор идёт из точки A(x₁; y₁) в точку B(x₂; y₂), то AB = x₂ − x₁; y₂ − y₁: конец минус начало.

Длина вектора a(x; y) считается по теореме Пифагора: |a| = √x² + y².

На клетках координаты считают по клеткам: сколько клеток вправо (влево со знаком минус) и сколько вверх (вниз со знаком минус) от начала до конца стрелки.

Сложение и умножение на число

Координаты складываются, а при умножении на число умножаются на него:

a(1; 2), b(3; −1): a + b = (4; 1), 3a − b = (3 − 3; 6 + 1) = (0; 7).

Геометрически сумма строится по правилу треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго, сумма идёт из начала первого в конец второго.

Скалярное произведение

Это число, а не вектор. Две формулы:

• в координатах: a · b = x₁x₂ + y₁y₂;
• через длины и угол между векторами: a · b = |a| · |b| · cos φ.

Из второй формулы:

• a · a = |a|²;
• векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда a · b = 0;
• косинус угла между векторами cos φ = a · b|a| · |b|.

Скобки со скалярным произведением раскрываются как обычные: (a + b) · (a − b) = |a|² − |b|², |a + b|² = |a|² + 2a · b + |b|².

Коллинеарные векторы

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Их координаты пропорциональны: x₁x₂ = y₁y₂.