Задание 6. Простейшие уравнения

Как узнать: одно уравнение, нужно найти корень. Если корней несколько, в условии сказано, какой записать: меньший, больший, наименьший положительный.

Линейные и квадратные

• Линейное: раскрой скобки, перенеси x в одну сторону, числа в другую, раздели на коэффициент.
• Квадратное ax² + bx + c = 0: дискриминант D = b² − 4ac, корни x = −b ± √D2a. При D < 0 корней нет. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 удобна теорема Виета: x₁ + x₂ = −p, x₁ x₂ = q.

Пример: x² − 2x − 15 = 0. Ищем два числа с суммой 2 и произведением −15: это 5 и −3.

Дробные

Умножь обе части на знаменатель, но помни: знаменатель не может быть нулём. Корень, который обнуляет знаменатель, выбрасывается.

Пример: x + 7x − 2 = 4. При x ≠ 2: x + 7 = 4x − 8, x = 5.

С корнем

Возводи обе части в квадрат, а потом обязательно проверь корни: при возведении в квадрат могут появиться лишние.

Пример: √x + 6 = x. Квадрат: x + 6 = x², корни 3 и −2. Но корень не может равняться отрицательному числу, поэтому x = −2 не подходит. Ответ: 3.

Если справа число, всё проще: √2x + 3 = 5, 2x + 3 = 25, x = 11.

Показательные

Приведи обе части к одному основанию и приравняй показатели: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x).

Пример: 13^{x − 1} = 27. 13 = 3⁻¹, 27 = 3³: 3^{−(x − 1)} = 3³, −(x − 1) = 3, x = −2.

Логарифмические

По определению: log_a f(x) = c ⇔ f(x) = a^c. Под логарифмом должно получиться положительное число, проверь это.

Пример: log₂(x − 3) = 4. x − 3 = 2⁴ = 16, x = 19.

Если логарифмы с одним основанием стоят с двух сторон, приравниваем выражения под ними: log₅(2x + 1) = log₅(x + 4) ⇒ 2x + 1 = x + 4, x = 3; под логарифмами 7 > 0, подходит.

Тригонометрические

В заданиях 6 под функцией обычно π xn. Схема такая: записать серии для выражения под функцией, выразить x, подставить несколько k и выбрать нужный корень.

Пример: cos π x3 = 12, наименьший положительный корень. π x3 = ± π3 + 2π k, умножаем на 3π: x = ± 1 + 6k. Положительные корни: 1, 5, 7, 11, … Наименьший 1.