Профильная математикаЗадание 3
ЕГЭ 2027 по профильной математике
Задание 3. Стереометрия
- Первая часть
- краткий ответ
- 1 первичный балл
- 46 задач в задачнике
Задачи проверяются сразу, ответ и разбор открываются после решения. Нужна бесплатная регистрация, урок этого номера открыт бесплатно.
Теория
Как узнать: дано тело (куб, параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус, шар), нужно найти объём, площадь поверхности или как они изменятся. Чаще всего задача решается одной формулой или подобием.
Формулы
| Тело | Объём | Поверхность |
|---|---|---|
| куб с ребром a | a3 | 6a2 |
| прямоугольный параллелепипед | abc | 2(ab + bc + ac) |
| призма | Sосн · h | два основания и боковые грани |
| пирамида | 13 Sосн · h | основание и боковые грани |
| цилиндр | π r2 h | боковая 2π r h, полная 2π r2 + 2π r h |
| конус | 13π r2 h | боковая π r l, где l это образующая |
| шар | 43π R3 | 4π R2 |
Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d2 = a2 + b2 + c2.
Подобие тел
Если все размеры тела увеличить в k раз, площади вырастут в k2 раз, а объём в k3 раз. Это работает для любых подобных тел: куба, шара, конуса, отсечённого плоскостью параллельно основанию.
Пример: плоскость через середину высоты конуса отсекает маленький конус, подобный большому с k = 12. Его объём меньше в 23 = 8 раз.
Приёмы, которые встречаются постоянно
- Пирамида внутри призмы с тем же основанием и высотой занимает треть: Vпир = 13 Vпризмы. Так же конус и цилиндр.
- Вытесненная вода. Объём погружённой детали равен объёму воды, на который поднялся уровень: площадь дна умножить на подъём.
- Переливание. Объём жидкости не меняется: если площадь дна стала в k раз больше, уровень станет в k раз ниже.
- **Если в формуле есть π, а в ответе его нет**, значит, π сократится: не подставляй 3,14.
Примеры заданий
Пример 1. Диагональ параллелепипеда
Найди диагональ прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 3 и 6.
Пример 2. Площадь поверхности параллелепипеда
Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 4 и 8. Найди площадь его поверхности.
Пример 3. Объём цилиндра
Объём цилиндра равен 102. Радиус основания увеличили в 4 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Найди объём нового цилиндра.